概率

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Basic Concept

$A$, $B$: event(事件):

• $P(A)$: 事件A发生的概率;
• $P(A \cap B)$: 事件A和B同时发生的概率;
• $P(A \cup B)$: 事件A或B任意一个发生的概率.

容斥原理: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

互斥事件(mutuallu exclusive events): $A \cap B = \varnothing$, 即$P(A \cap B) = 0$.

独立事件(independent events): 事件A和B独立发生, 均不会对对方产生任何影响. $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

互补事件(complementary events): $P(A’)=1-P(A)$

$P(A|B)$: 给定事件B发生, 事件A发生的概率. 需要注意的是: 若事件A, B相互独立, 则$P(A|B)=P(A)$, 意味着事件B对A不会产生任何影响

Bayes’ Theorem:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

其实从Bayes’ Theorm 也能得出来刚才的结论. 因为当A, B事件独立时, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, 约分之后可得$P(A|B)=P(A)$.

Bayes’ Theorm还可以写成以下几个形式:

$$P(A|B) \cdot P(B)= P(A \cap B)$$
$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$
$$P(A|B)\cdot P(B)= P(B|A) \cdot P(A)$$

Combinations, Permutation, Arrangemts

• $n \choose r$: n个东西里面选r个可能的方式. 计算方式: ${n \choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
• $\frac{n!}{(n-r)!}$: 从n个不同的对象中选取r个对象的排列次数, 其中$n!$代表了n个对象的排序方式.
• $\frac{r!}{a_1! \cdot a_2! \cdot … \cdot a_k!}$:$r$对象的不同排列的数目, 其中$a_i$是相同的. 对象$i$与对象$j$不同.