《关于反对称矩阵的迹》学习笔记

这篇文章主要研究了反对称矩阵的迹的一些性质和不等式。反对称矩阵是指转置等于负的矩阵，它在矩阵理论和实际应用中都有重要的意义。迹是指矩阵的主对角线元素之和，它是矩阵的一个重要的数值特征，在许多领域中都有广泛的应用。

文章首先给出了反对称矩阵、Hermite矩阵和迹的定义，以及一些基本的引理。然后，文章给出了七个定理，分别讨论了反对称矩阵的迹与自身、可逆性、转置、乘积、特征值等方面的关系。最后，文章利用虚数单位将实反对称矩阵与Hermite矩阵联系起来，给出了实反对称矩阵与Hermite矩阵的迹的几个不等式。

下面我们分别介绍每个定理及其证明过程和解释。

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定理1：设$A$是$n$阶方阵，那么：

（1）若$A$是反对称矩阵，则$\mathrm{tr}A=0$；

（2）若$A$是反对称矩阵且可逆，则$\mathrm{tr}A^{-1}=0$；

（3）$\mathrm{tr}(A-A^T)=0$。

证明：由定义1和定义2，易得（1）；容易验证，若$A$是反对称矩阵且可逆，则$A$的逆矩阵也是反对称矩阵，由（1）知（2）成立；对于任意$n$阶矩阵$A$，$A-A^T$显然是反对称矩阵，由（1）可得：
$$
\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}(A-A^T)=0.
$$

解释：这个定理说明了反对称矩阵的迹必为零，无论是否可逆。这是因为反对称矩阵的主对角线元素都为零，而迹就是主对角线元素之和。另外，这个定理还说明了任意方阵减去它的转置后得到的也是一个反对称矩阵，其迹也为零。

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定理2：设$A$是$n$阶反对称矩阵，则对任意的$n$阶方阵$P$，有$\mathrm{tr}(A^TAP)=\mathrm{tr}(PAP^T)=0$。

证明：因为$A$是$n$阶反对称矩阵，即$A^T=-A$，所以
$$
(P^TAP)^T=P^TA^T(P^T)^T=P^T(-A)P=-P^TAP,
$$
即$P^TAP$是反对称矩阵，同理$PAP^T$也是反对称矩阵，由定理1得
$$
\mathrm{tr}(P^TAP)=\mathrm{tr}(PAP^T)=0.
$$

解释：这个定理说明了反对称矩阵与任意方阵相乘后再转置相乘得到的仍然是一个反对称矩阵，其迹为零。这可以看作是一种不变性或保持性质。

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定理3：设$A,B\in C^{n\times n}$，其中有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则$\mathrm{tr}AB=0$。

证明：不妨设

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, $$

$$B=\begin{pmatrix} 0&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ -b_{12}&0&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -b_{1n}&-b_{2n}&\cdots&0 \end{pmatrix}$$

且$A^T=A,B^T=-B$,则
$$ AB=\begin{pmatrix} a_{11}b_{12}-a_{12}b_{12}&a_{11}b_{13}-a_{13}b_{12}&\cdots&a_{11}b_{1n}-a_{1n}b_{12}\\ -a_{11}b_{12}+a_{12}b_{11}&-a_{11}b_{13}+a_{13}b_{11}&\cdots&-a_{11}b_{1n}+a_{1n}b_{11}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{11}b_{21}+a_{21}b_{11}&-a_{11}b_{31}+a_{31}b_{11}&\cdots&-a_{11}b_{n1}+a_{n1}b_{11} \end{pmatrix}.$$

记 $C=AB$,则
$$
\mathrm{tr}AB=\mathrm{tr}C=\sum^n_i=1c_ii=\sum^n_i=1(\sum^n_j=1 a_ij b_ji)=0.
$$

解释：这个定理说明了一个方阵与它的转置相等或相差一个负号时，它们相乘后得到的方阵的迹为零。这可以看作是一种正交性或互补性质。

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定理4：设 $A,B,C $都是 $n $ 阶反对称矩阵，则
$$\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(BCA)= \mathrm{tr}(CAB)=- \mathrm{tr}(CBA)=- \mathrm{tr}(BAC)=- \mathrm{tr}(ACB)$$

证明：因为 $A,B,C $都是 $n $ 阶反对称矩阵，即 $A^T=- A,B^T=- B,C^T=-C $。
$$
\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(ABC)^T= \mathrm{tr}(C^TB^TA^T)= \mathrm{tr}[(-C)(-B)(-A)]= \mathrm{tr}{(-CBA)}= - \mathrm{tr}{(CBA)}.
$$
显然可得
$$
\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(BCA)= \mathrm{tr}(CAB),
$$

$$
\mathrm{tr}(CBA)= \mathrm{tr}(BAC)= \mathrm{tr}(ACB).
$$

所以，
$$
\mathrm{tr}(ABC)= \mathrm{tr}(BCA)= \mathrm{tr}(CAB)=- \mathrm{tr}(CBA)=- \mathrm{tr}(BAC)=- \mathrm{tr}(ACB).
$$

解释：这个定理说明了三个反对称矩阵相乘后得到的方阵的迹与它们相乘的顺序有关。当它们按顺时针或逆时针方向循环移动时，它们相乘后得到的方阵的迹不变；当它们交换其中两个时，它们相乘后得到的方阵的迹的符号相反。这可以看作是一种循环性或交换性质。

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定理5：设$A,B$都是$n$阶反对称矩阵，则$\mathrm{tr}(AB-BA)=0$。

证明：由定理3，得
$$
\mathrm{tr}(AB-BA)=\mathrm{tr}AB-\mathrm{tr}BA=0-0=0.
$$

解释：这个定理说明了两个反对称矩阵相乘后再相减得到的方阵的迹为零。这可以看作是一种对称性或平衡性质。

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定理6：设$A$是$n$阶反对称矩阵，则$A$的特征值都是纯虚数或零。

证明：设$\lambda$是$A$的一个特征值，$\alpha$是对应的特征向量，即

$
A\alpha=\lambda\alpha.
$

两边取共轭转置，得
$$
(A\alpha)^H=\lambda^H\alpha^H,
$$

即
$$
\alpha^HA^H=\lambda^H\alpha^H.
$$
因为$A$是反对称矩阵，即$A^T=-A$，所以
$$
\alpha^H(-A)=\lambda^H\alpha^H,
$$
即
$$
-A\alpha^H=\lambda^H\alpha^H.
$$
将上式与原式相乘，得
$$
-A^2(\alpha\alpha^H)=\lambda\lambda^H(\alpha\alpha^H).
$$
因为$\alpha\neq 0$，所以$\alpha\alpha^H\neq 0$，从而可得
$$
-A^2=\lambda\lambda^HI_n,
$$
即
$$
A^2=-\lambda\lambda^HI_n.
$$
取迹，得
$$
\mathrm{tr}(A^2)=-n\lambda\lambda^H.
$$
由引理4，得
$$
\mathrm{tr}(A^2)=-2n(\mathrm{tr}A)^2=0,
$$
所以$\lambda\lambda^H=0$，即$\lambda=0$或$\lambda$是纯虚数。

解释：这个定理说明了反对称矩阵的特征值都是纯虚数或零。这是因为反对称矩阵与它的转置相差一个负号，所以它们的特征值也要满足这样的关系，即$\lambda=-\lambda^H$，从而只能是纯虚数或零。

(注：在文中出现的$A^H$是指$A$的共轭转置，即$A^H=\bar{A}^T$)

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定理7：设 $A,B $都是 $n $ 阶反对称矩阵，则 $\mathrm{tr}(AB) \leqslant 0 $。

证明：由定理6，知 $A,B $的特征值都是纯虚数或零。设 $\{\lambda_i\}_{i=1}^{n}$
是 $A $ 的特征值集合， $\{\mu_j \}_{j=1}^{n} $ 是 $B $ 的特征值集合，则有

$$ \begin{aligned}
& \mathrm{tr}(AB) = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\langle Ae_i,Be_j\rangle \\
& = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\langle \lambda_i e_i,\mu_j e_j\rangle \\
& = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\lambda_i \mu_j \langle e_i,e_j\rangle \\
& = \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\lambda_i \mu_j \delta_{ij} \\
& = \sum^n_{i=1}\lambda_i \mu_i \\
& = \sum^n_{i=1}(-a_ib_i) \\
& \leqslant 0,
\end{aligned}
$$

其中$a_i,b_i$分别是$\lambda_i,\mu_i$的虚部，$\delta_{ij}$是克罗内克符号，$\langle e_i,e_j\rangle$是向量内积。

解释：这个定理说明了两个反对称矩阵相乘后得到的方阵的迹不大于零。这是因为反对称矩阵的特征值都是纯虚数或零，所以它们相乘后得到的方阵的特征值都是负实数或零，而迹就是特征值之和。