复数
Basic Concepts
定义: $i=\sqrt{-1}$
复数(Complex number): $a+bi$, 其中$a$为实数部分，$bi$为虚数部分. $a={\rm Re}(\mathbb{Z})$, $b={\rm Im}(\mathbb{Z})$
注意: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$
也可以用向量的形式书写, 如 $a \choose b$ (注: 这种写法只在计算加减法的时候好用，其他运算比较麻烦)
运算:
加减法: $(a+bi)\pm (c+di)=(a+c)\pm(b+d)i$
乘法: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
除法: 类似于分母有理化的方式, 即:
$$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$
模(modulus): $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. 其中: $$|z_1z_2|=|z_1||z_2|, \quad
|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$
复共轭(Complex conjugate): 对于复数$z=a+bi$, 其共轭为 $\bar{z}=a-bi$ . 这两个复数互为共轭复数, 具有以下性质:
$$ z \cdot \bar{z} = a^2+b^2 = |z|^2$$
辐角(Argument): 在复平面上, 复数所对应的向量和正实数轴所成的有向角, 且永远为正. 其中, $${\rm arg}(z_1z_2)={\rm arg}(z_1){\rm arg}(z_2), \quad {\rm arg}(\frac{z_1}{z_2})={\rm arg}(z_1)-{\rm arg}(z_2)$$
其他复数表达形式:
- 极坐标形式(Polar form): $z=r \cos\theta + i r\sin\theta$, 其中$\theta$是辅角(argument), r是复数的模(modulus).
- 利用欧拉公式, 可以转化为指数形式 $z=re^{i\theta}$. 这种形式在计算复数的乘除法比较方便, 即 $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.
Loci (轨迹)
- $|z|=r$: 以原点为圆心，以r为半径的圆.
- $|z-c|=r$: 以c为圆心，以r为半径的圆. 其中c为复数
- $|z−a| = |z−b|$: 复数a，b连线的垂直平分线.
- ${\rm arg}(z) = \theta$: 以原点为起点, 与正x轴角度为$\theta$的一条射线.
- ${\rm arg}(z-c) = \theta$: 以c为起点, 与水平方向夹角为$\theta$的一条射线.
- ${\rm arg}(\frac{z-a}{z-b})=\alpha$: 过a和b, 且弧${ab}$所对应的圆周角为$\alpha$的圆.
Transformation
其实只需要当作向量就可以了, 如:
- $z\mapsto z+a$: 以复数a的方式平移.
- $z\mapsto \lambda z$: 扩大$\lambda$倍, 其中$\lambda$为实数.
- $z \mapsto z(\cos \theta + i\sin\theta)$: 逆时针旋转$\theta$度.