微分方程
一阶微分方程
- 如果微分方程是$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = Q(x)$，那么解就是$y=\int Q(x) \mathrm{d}x$。
- 分离变量法。如果微分方程为$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = f(x)g(y)$，则可以将其改写为$\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x = g(y) \mathrm{d}y$，然后对每条边积分，即可得到解。
- 积分因子. 如果微分方程为 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}+P(x)y=Q(x)y$, 那他就可以转化为 $$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ P(x)y = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ Q(x) $$ 通过每项都乘 $$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x}$$, 因此
$$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ P(x)y = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ Q(x) \ $$
然后使用积分的乘积法则, 则,
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} y) = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} Q(x) $$
二阶微分方程
一般二阶微分方程:
$$ a \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + b \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +cy = f(x)$$
- 二阶常系数齐次线性微分方程: $$ a \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + b \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +cy = 0$$. 可以通过令$y=e^{kx}$, 使得方程变成 $$ak^2 e^{kx}+bke^{kx}+ce^{kx}=0$$ 我们知道 $x \neq 0$, 即 $$ak^2+bk+c$$ 然后可以通过这样简单的二次方程求的解,即:
- 如果二次方程有两个不同的实数根, 则y的解为 $y=Ae^{k_1t}+Be^{k_2t}$.
- 如果二次方程有两个相同的实数根, 则y的解为 $y=(A+Bx)e^{kt}$.
- 如果二次方程有两个不同的虚数根, 形如 $k=\alpha+i \beta$, 则y的解为 $y=(A \sin\beta x+B\cos\beta x)e^{\alpha x}$.
- 二阶常系数非齐次线性微分方程: 通解是complementary function(余函数, 即其二阶常系数齐次线性微分方程)与非齐次方程特解的和. e.g.
- 如果 $f(x)$ 是一个$n$阶多项式, 则可以猜测 $y = a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0$.
- 如果 $f(x)$ 包含 $e^{kx}$, 则可以猜测 $y=ce^kx$.
- 如果 $f(x)$ 包含 $\sin kx$ or $\cos kx$, 则可以猜测 $y = A \sin kx + B \cos kx$.
Coupled Differential Equations
方法1: 将已知的两个微分方程求导，然后利用代入消元法计算出其中一个的通解（通常是一个二阶常系数齐次线性微分方程）。再利用已知的代数关系求出另外一个的通解。需要注意的是，另外一个的通解不能使用刚才的方式解决，因为两个解之间存在代数关系，如果直接利用代入消元法求解第二个解会导致二者之间的关系丢失。例: $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4x-2y \quad (1) \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3x-y \quad (2)$$ 这两个方程求导后可得 $$ \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = 4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \quad (3) \qquad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} = 3 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \quad (4)$$ 从(1)中可得 $$2y = 4x - \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$$, 故 $$y = 2x - \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$$ 从(2)中可得 $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3x-y$$, 然后将它们带入(3)可得 $$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} &= 4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2(3x-y) \\ &=4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 2(3x-2x - \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}) \\ &= 4 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - 6x + 4x - \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \\ &= 3 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} -2x \end{aligned}$$ 然后现在问题就变成了一个二阶常系数齐次线性微分方程，只需要令 $x=e^{kt}$, 然后就可得 $x = Ae^{2t}+Be^t$, 其中 $A$, $B$ 均为常数.
然后我们利用 x 和 y之间存在的关系, 即 $$\begin{aligned} y &=2x-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\ &=2(Ae^2t + Be^t) - \frac{1}{2} (2Ae^{2t} + Be^t) \\ &= Ae^{2t} + \frac{3}{2} Be^t \end{aligned}$$. 故解为 $$ x=Ae^{2t} + Be^t \qquad y=Ae^{2t}+\frac{3}{2}e^t$$, 其中 $A$, $B$ 均为常数.方法2: 利用矩阵, 即将两个或多个微分方程变为矩阵形式, 即 $$Y = {x(t) \choose y(t)}, \qquad \dot{Y} = {\dot{x}(t) \choose \dot{y}(t)}$$, 其中 $$\dot{Y} = MY$$, 矩阵$M$的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots \lambda_n$, 以及其对应的特征向量为 $v_1, v_2, \cdots, v_n$, 其中n是矩阵M的特征值个数, 则微分方程组的解为 $$Y = \sum^{n}_{i=1} A_ie^tv_i$$. 这种方法的优势是可以比较轻松的解决多元微分方程组. 例: $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 4x-2y \quad (1) \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3x-y \quad (2)$$, 让 $$Y = {x(t) \choose y(t)}, \qquad \dot{Y} = {\dot{x}(t) \choose \dot{y}(t)}$$, 则 $$\dot{Y} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 &-1 \end{pmatrix}Y$$. 然后我们可以得出这个矩阵的特征值和对应的特征向量, 即对于 $\lambda = 2$, 其对应的特征向量为 $k{1 \choose 1}$, 并且对于 $\lambda = 1$,其对应的特称向量为$k{2 \choose 3}$. 故解为 $$Y = Ae^{2t}{1 \choose 1} + Be^t{2 \choose 3}$$, 其中 $A$, $B$ 均为常数, 并且如果我们将其展开, 可以得到与第一种方法同样的解.