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一阶微分方程
- 如果微分方程是$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = Q(x)$，那么解就是$y=\int Q(x) \mathrm{d}x$。
- 分离变量法。如果微分方程为$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = f(x)g(y)$，则可以将其改写为$\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x = g(y) \mathrm{d}y$，然后对每条边积分，即可得到解。
- 积分因子. 如果微分方程为 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}+P(x)y=Q(x)y$, 那他就可以转化为 $$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ P(x)y = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ Q(x) $$ 通过每项都乘 $$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x}$$, 因此
$$e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} + e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ P(x)y = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} \ Q(x) \ $$
然后使用积分的乘积法则, 则,
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} y) = e^{\int P(x) \ \mathrm{d}x} Q(x) $$